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In mwbqgeometria, l'mwbgincentro (indicato anche come mwbwmwcaI e X(1) nell'mwcqETC) di un mwcgpoligono è il punto di incontro delle mwcwbisettrici.

Esso è dunque presente soltanto nei poligoni circoscrivibili, tra cui figurano in particolare tutti i mwdqpoligoni regolari e tutti i mwdgtriangoli. La distanza dell'incentro dai lati si chiama mwdwinraggio e la circonferenza centrata in esso è tangente ai lati del poligono e si chiama mweaincerchio.

• Teoremi

• Coordinate

• Incentro di un poliedro

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La distanza di un punto da un lato si misura lungo la perpendicolare che lo congiunge al lato stesso, in questo caso, essendo l'incentro il centro dell'incerchio, tale distanza coincide con il raggio di una circonferenza tangente tutti lati del poligono, e data l'invariabilità del raggio in ogni punto della circonferenza, l'incentro è equidistante da ogni lato del poligono.

Se la bisettrice può essere vista come il luogo dei punti equidistanti dai lati del proprio vertice, l'incentro, per il teorema precedente, non può che essere uno di tali punti, la sua particolarità, d'essere equidistante da ogni lato, lo farà, però, appartenere di diritto a ogni bisettrice interna del poligono e dunque ne sarà anche il punto comune. Da questo teorema ne discende facilmente che l'incentro deve per forza essere un punto sempre interno al perimetro del poligono, o non potrebbe più essere comune a tutte le bisettrici.

Questo teorema è facilmente dimostrabile dividendo il triangolo originale in tre triangoli con un vertice in comune nell'incentro mwhg I , {\displaystyle I,} l'area del triangolo è quindi equivalente alla somma delle aree dei tre sottotriangoli: mwhwmwiamwiq A = A 1 + A 2 + A 3 . {\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{3}.}

Nei tre punti in cui il cerchio inscritto tocca il triangolo il raggio mwiw r {\displaystyle r} è perpendicolare al lato ed è la distanza minore tra l'incentro mwja I {\displaystyle I} e il lato, questo significa che il raggio è l'altezza dei tre sottotriangoli le cui basi sono i lati del triangoli originali quindi: mwjqmwjgmwjw A 1 = a r 2 ; A 2 = b r 2 ; A 3 = c r 2 ; {\displaystyle A_{1}={\frac {ar}{2}};A_{2}={\frac {br}{2}};A_{3}={\frac {cr}{2}};}

da cui, denotando con mwkq s {\displaystyle s} il semiperimetro, segue che: mwkgmwkwmwla A = a r 2 + b r 2 + c r 2 = r ( a + b + c 2 ) = r s , {\displaystyle A={\frac {ar}{2}}+{\frac {br}{2}}+{\frac {cr}{2}}=r\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)=rs,}

e quindi mwlgmwlwmwma r = A s . {\displaystyle r={\frac {A}{s}}.}

Per un triangolo di vertici mwmw A = ( x a , y a ) {\displaystyle A=(x_{a},y_{a})} , mwna B = ( x b , y b ) {\displaystyle B=(x_{b},y_{b})} , mwnq C = ( x c , y c ) {\displaystyle C=(x_{c},y_{c})} e lati mwng a = B C ¯ ¯ {\displaystyle a={\overline {BC}}} , mwnw b = A C ¯ ¯ {\displaystyle b={\overline {AC}}} , mwoa c = A B ¯ ¯ {\displaystyle c={\overline {AB}}} abbiamo il centro della circonferenza nelle coordinate cartesiane in

mwow I = ( a x a + b x b + c x c a + b + c ; a y a + b y b + c y c a + b + c ) . {\displaystyle I=\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}};{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right).}

In tre dimensioni l'incentro di un mwqgpoliedro è il punto equidistante da tutte le mwqwfacce del poliedro. Per questa sua caratteristica, l'incentro è anche il centro della mwrasfera inscritta nel poliedro (cioè tangente a tutte le sue facce), nonché il punto d'intersezione dei mwrqpiani bisettori di ogni mwrgangolo diedro determinato da una coppia di facce del poliedro.

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su incentro

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Incenter, su MathWorld, Wolfram Research.

• mwtq(EN) Clark Kimberling, X1, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.